OpenAI kertoi, että sen sisäinen tekoälymalli on ratkaissut matematiikan klassikko-ongelman ja kumonnut otaksuman, joka oli pitänyt pintansa lähes 80 vuotta. Kyseessä on tason yksikköetäisyysongelma, jonka unkarilainen matemaatikko Paul Erdős esitti vuonna 1946.
Yhtiön mukaan tämä on ensimmäinen kerta, kun tekoäly ratkaisee itsenäisesti tunnetun avoimen ongelman jonkin matematiikan osa-alueen ytimessä. Todistuksen on tarkistanut ryhmä ulkopuolisia matemaatikkoja. Tulos nojaa yllättäen matematiikan haaraan, jolla ei aiemmin uskottu olevan tekemistä koko kysymyksen kanssa.
Lähes 80 vuotta avoinna ollut kysymys
Yksikköetäisyysongelma on helppo muotoilla. Kun tasolle asetetaan joukko pisteitä, kuinka monta pisteparia voi sijaita täsmälleen etäisyydellä yksi toisistaan? Erdős esitti kysymyksen vuonna 1946, ja siitä tuli yksi kombinatorisen geometrian tunnetuimmista pulmista. Erdős tarjosi sen ratkaisemisesta jopa rahapalkinnon.
Yksinkertaiset asetelmat tuottavat vain lineaarisen määrän pareja. Pisteet suoralla antavat lähes pistemäärän verran pareja, ja neliöhila noin kaksinkertaisen määrän. Paras aiemmin tunnettu rakenne, sopivasti skaalattu neliöhila, ylsi hieman pidemmälle, mutta senkin kasvuvauhti oli vain niukasti lineaarista nopeampi.
Vuosikymmenten ajan matemaatikot uskoivat, ettei tätä rajaa voi merkittävästi ylittää. Erdős muotoili otaksuman, jonka mukaan neliöhilan kaltainen rakenne on käytännössä paras mahdollinen. Otaksumaa tuki sekin, että ongelman ei-euklidiset muunnelmat näyttivät noudattavan samaa rajaa. Alan klassikkoteos kuvasi ongelmaa vuonna 2005 kombinatorisen geometrian tunnetuimmaksi ja helpoimmin selitettäväksi kysymykseksi.
Mitä OpenAI:n malli todisti
OpenAI:n malli osoitti Erdősin otaksuman vääräksi. Todistus rakentaa äärettömän perheen pistejoukkoja, joissa yksikköetäisyyspareja on selvästi enemmän kuin neliöhilassa.
Olennaista on, että parannus on polynominen eikä vain pieni hienosäätö. Äärettömän monelle pistemäärälle löytyy joukko, jonka pariluku ylittää aiemman rajan kiinteällä, nollaa suuremmalla potenssilla. Alkuperäinen tekoälytodistus ei antanut tälle potenssille täsmällistä arvoa, mutta Princetonin matematiikan professori Will Sawin on sittemmin tarkentanut tuloksen lukuun 0,014.
Mittakaava käy ilmi ongelman historiasta. Parhaan rakenteen antama alaraja oli pysynyt olennaisesti samana Erdősin vuoden 1946 työstä lähtien. Ongelman yläraja johdettiin vuonna 1984, eivätkä myöhemmät tutkimukset ole sitä juuri liikuttaneet. Tämä yläraja on yhä selvästi suurempi kuin tunnetut rakenteet, joten ongelman tarkka vastaus on edelleen auki. Tekoälyn löytämä rakenne mursi alarajan, johon kukaan ei ollut yltänyt lähes kahdeksaan vuosikymmeneen.
Algebrallinen lukuteoria geometrian apuna
Todistuksen yllättävin piirre on matematiikka, jota se käyttää. Ratkaisu nojaa algebralliseen lukuteoriaan, joka tutkii kokonaislukujen laajennuksia ja niiden jakautumista alkutekijöihin.
Erdősin alkuperäinen rakenne voidaan ymmärtää niin sanottujen Gaussin kokonaislukujen avulla. Ne ovat muotoa a + bi olevia lukuja, joissa a ja b ovat kokonaislukuja ja i on luvun miinus yksi neliöjuuri. OpenAI:n mallin todistus korvaa nämä monimutkaisemmilla lukukunnilla, joiden rikkaampi rakenne tuottaa huomattavasti enemmän yksikön mittaisia etäisyyksiä.
Argumentti turvautuu lukuteorian erikoistyökaluihin, kuten äärettömiin luokkakuntatorneihin ja Golod–Shafarevichin teoriaan. Käsitteet olivat lukuteoreetikoille tuttuja, mutta niiden yhteys tason geometriaan tuli alan tutkijoille täytenä yllätyksenä. Matemaatikko Thomas Bloom arvioi oheisartikkelissa, että ratkaisu opettaa jotain aidosti uutta itse ongelmasta.
Yleiskäyttöinen malli ratkaisi pulman
Tulos on huomionarvoinen myös syntytapansa takia. Todistus ei tullut matematiikkaan erikoistuneesta järjestelmästä eikä mallista, joka olisi viritetty etsimään todistuksia juuri tähän ongelmaan. Sen tuotti uusi yleiskäyttöinen päättelymalli.
OpenAI testasi mallia laajemmassa kokeessa, jossa sille annettiin kokoelma Erdősin ongelmia. Yhdessä tapauksessa malli tuotti todistuksen, joka ratkaisi avoimen kysymyksen. Ulkopuolinen matemaatikkoryhmä tarkisti päättelyn ja kirjoitti siitä erillisen oheisartikkelin, joka avaa tuloksen taustaa ja merkitystä.
Tulos on saanut painavaa tunnustusta. Fields-mitalisti Tim Gowers kuvaa sitä virstanpylvääksi tekoälymatematiikassa. Lukuteoreetikko Arul Shankarin mukaan nykyiset mallit eivät ole enää pelkkiä matemaatikkojen apureita vaan kykenevät omaperäisiin oivalluksiin ja niiden viemiseen loppuun saakka. Myös Princetonin Noga Alon kutsui ratkaisua erinomaiseksi saavutukseksi.
OpenAI kuvaa työtä osana laajempaa pyrkimystä selvittää, voivatko kehittyneet mallit osallistua huipputason tutkimukseen. Yhtiö tutki myös, miten mallin onnistumistodennäköisyys muuttui, kun sille annettiin enemmän laskenta-aikaa vastauksen muodostamiseen.
Yhteenveto
Yksikköetäisyysongelman ratkaisu on rajapyykki tekoälyn ja matematiikan yhteistyössä. Ensimmäistä kertaa malli on murtanut itsenäisesti matematiikan osa-alueen keskeisen avoimen kysymyksen ja tehnyt sen yhdistämällä kaksi toisistaan kaukaista haaraa. Tulos on myös konkreettinen näyttö siitä, kuinka pitkälle mallien päättelykyky on kehittynyt.
OpenAI:n mukaan sama kyky pitää pitkä päättelyketju koossa ja löytää yhteyksiä eri tiedonalojen välillä hyödyttää myös fysiikkaa, biologiaa ja materiaalitutkimusta. Yhtiö korostaa silti, että ihmisen rooli säilyy keskeisenä: tekoäly voi etsiä, ehdottaa ja tarkistaa, mutta tutkijat valitsevat ongelmat ja tulkitsevat tulokset.